Tagungsbeiträge 1996 - Kurzfassungen


Arbeitskreis „Mathematikunterricht und Informatik“in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V.

14. Arbeitstagung vom 20.09. bis zum 23.09.1996 in Wolfenbüttel

Computer und Geometrieunterricht


Inhalt:Leitgedanken - Grundsatzvorträge - Sektionsvorträge - Arbeitsgruppen

1. Leitgedanken

In der ersten Aussendung wurde mit folgenden Fragen zu dieser Tagung aufgerufen:Ändert sich womöglich unser Verständnis von „Geometrie“ durch die Verfügbarkeit von Computern? Muß es sich gar ändern?Welche Chancen, aber auch welche Probleme bietet uns der Computer(-Einsatz) für den Geometrieunterricht?Bei der zweiten Frage sei besonders darauf hingewiesen, daß „- Einsatz“ in Klammern steht, diese Frage also auch ohne diesen Zusatz zu lesen ist! Das bedarf einer Erläuterung.Seit mehreren Jahren befaßt sich dieser Arbeitskreis intensiv mit den Fragen der Auswirkung des Computers und der Informatik auf einen künftigen Mathematikunterricht, wobei keinesfalls nur der mögliche, wünschenswerte oder kritisch zu sehende Computereinsatz im Blickpunkt steht und stand. Vielmehr ergibt sich beispielsweise gerade im Zusammenhang mit Computer algebrasystemen die Frage nach dem Stellenwert und der Sinnhaftigkeit traditionell im Mathematikunterricht vermittelter bzw. zu vermittelnder Kompetenzen. (Die bisherigen Tagungsbände des Arbeitskreises greifen auch diese Frage immer wieder auf.) Nachdrücklich ist hervorzuheben, daß solche Fragen selbst dann entstehen, wenn der Computer im Mathematik unterricht (für entsprechende, allgemeinere Fragen: im Unterricht) nicht zum Einsatz gelangt! Diese Fragen entstehen einfach deshalb, weil es den Computer mit seinen Möglichkeiten gibt!Damit wendet sich nun dieser Arbeitskreis auf der diesjährigen Tagung mit der Geometrie einem weiteren wichtigen Themenkreis des Mathematikunterrichts zu, der — ähnlich wie bei Computer- algebrasystemen — zunächst dadurch (erneut!) in den Blick geriet, daß es seit einigen Jahren zunehmend Software gibt, die einen mehr oder weniger engen Bezug zur „Geometrie“ hat (z. B. interaktive Geometrieprogramme wie Cabri Géomètre, Euklid und Thales, aber auch andere Programme mit einem „Geometriemodul“). Dies bedeutet allerdings keinesfalls, daß nun auf dieser Tagung (nur) intensiv darüber nachgedacht werden soll, wie der künftige Geometrieuntericht mit Hilfe des Computers durchgeführt werden kann oder gar soll. Wohl muß aber auch diese Frage kritisch (und vor allem konstruktiv!) untersucht werden, wenn sie gestellt wird — doch dies ist eben nur eine neben anderen möglichen Fragen, die sich beim Thema „Computer und Geometrieunterricht“ stellen. Insofern sind also für den Arbeitskreis (und eigentlich: für die Mathematikdidaktik) zwar einerseitsFragen (und Antworten!?) zum Computereinsatz im Geometrieunterrichtinteressant, andererseits wird aber auch beispielsweise in den Blick rücken müssen, ob (und ggf. wie) sich unser Verständnis von und unsere Einsicht in „Geometrie“ durch die Verfügbarkeit informatischer Systeme ändern, welche Ziele und Inhalte des bisherigen Geometrieunterrichts möglicherweise nicht mehr aufrechterhalten werden können, welche Ziele und Inhalte dagegen unverzichtbar bleiben und welche Ziele und Inhalte möglicherweise neu hinzukommen könnten oder gar sollten. Zwei rhetorische Fragen seien angeschlossen: Kann man diesem Tagungsthema gerecht werden, wenn man es etwa mit dem Hinweis darauf kommentiert oder gar abtut, daß man einen „Kreis doch mit der Hand zeichnen“ müsse? Ist die Situation hier ganz ähnlich derjenigen, die wir früher bereits mit „Wieviel Termumformung braucht der Mensch?“ charakterisiert haben?Das Tagungsthema ist weit umfassender, als es zunächst erscheinen mag. Ganz bewußt wurde deshalb auf der Arbeitskreissitzung im März 1996 in Regensburg auch nicht der Titel „Geometrieunterricht und Computer“ gewählt, sondern „Computer und Geometrieunterricht“, um damit zum Ausdruck zu bringen, daß für uns die Möglichkeiten des Computers als Anlaß zum Nachdenken über Geometrieunterricht gesehen werden sollten! Wir wünschen Ihnen allen in diesem Sinne eine interessante und erfolgreiche Tagung, die vielleicht auch trotz des dichten Programms die persönlichen Gespräche nicht zu kurz kommen läßt

.Wilfried Herget, Horst Hischer und Hans-Georg Weigandim September 1996


2. Kurzfassungen der Beiträge

Grundsatzvorträge

Kurt Endl, Gießen Software zur Geometrie in offener, objektorientierter Programmierung mit Turbo Pascal

Diese Software stellt einen geometrischen Werkzeugkasten dar, mit dessen Hilfe man selbst komplexe geometrische Objekte wie Ebenen, Rotationsflächen, platonische Kör per usw. darstellen kann. Illustriert wird diese Software mittels zweier CD-ROMs: „Schönheit der Geometrie, Wissenschaft und Ästhetik“ „Faszination Interaktiver Computergrafik“

Reinhard Hölzl, Augsburg Dynamische Geometrie — softwaretechnologische Entwicklungen, didaktische Diskussion und unterrichtspraktische Erfahrungen

Seit der Premiere der Dynamischen Geometrie-Software Cabri Géomètre hat sich eine Vielzahl verwandter Programme interessierten Lehrenden empfohlen. Der Referent versucht im Sinne eines Überblicks auf folgende Fragen einzugehen:Welche softwaretechnologischen Entwicklungen haben sich in den zurückliegenden acht Jahren vollzogen, worum rankt sich die didaktische Diskussion über den Computereinsatz im Geometrieunterricht, und welche unterrichtspraktischen Erfahrungen können wir im Umgang mit diesen Programmen aufweisen?

Hans Schupp, Saarbrücken Regeometrisierung der Schul geometrie — durch Computer?

Der national und international zu beobachtende Niedergang der synthetischen Geometrie in Schule und Hochschule ist u. a. auf den allzu bequemen Übergang zu Darstellungen und Methoden der analy tischen Geometrie zurückzuführen.Im Vortrag soll untersucht werden, wie die Möglichkeiten der Computergraphik genutzt werden können, um genuin geometrische Intuition und Argumentation zu wecken und zu fördern.Inhalt:Der Niedergang der SchulgeometrieDer Übergang zur Analytischen GeometrieGeschichteUnterrichtComputerunterstützte Geometrie – ein Weg zurück zu geometrischer Intuition und Argumentation?Einige spezielle MöglichkeitenVom Visualisieren zum CharakterisierenVon der Zeichnung zur FigurVom Konstruieren zum KomponierenVom Präsentieren zum ExperimentierenExplorativer vs. demonstrativer Geometrieunterricht

Horst Struve, Landau Computer — die dritte Revolution des Geometrieunterrichts

Versteht man unter „Revolution“ die grundlegende Umgestaltung von Bestehendem, so hat es in der Geschichte des Geometrieunterrichtes zwei Revolutionen gegeben. Die erste fand in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts statt und versuchte die klassische Geometrie Euklids durch die sog. neuere Geometrie, heute sagt man projektive Geometrie, zu ersetzen. Die zweite Revolution ist die Einführung der Abbildungsgeometrie in die Schule. In dem Vortrag wird versucht, aufgrund der Erfahrungen mit den vorangegangenen Umgestaltungen, Kriterien für eine erfolgreiche Durchführung der potentiell dritten Revolution, der Einführung des Com puters in die Schule, zu gewinnen.


Sektionsvorträge

Norbert Christmann, Kaiserlautern Endliche Geometrien im Unterricht

Die Rolle der Geometrie hat sich im Laufe dieses Jahrhunderts erheblich gewandelt. Aus der Wissenschaft, die den uns umgebenden Raum präzise zu beschreiben versuchte, wurde eine Disziplin, welche für viele Teilbereiche der Mathematik einen Sprachrahmen liefert, der geometrische Vorstellungen in nichtgeometrischen Situationen ermöglicht. Man denke nur an den Gebrauch von Begriffen wie Punkt, Raum, Abstand ... innerhalb vieler Zweige der Mathe matik. Wie diese dienende Rolle der Geometrie im Unterricht angesprochen werden kann, soll im Vortrag diskutiert werden:Es können geometrische Methoden zum Lösen nichtgeometrischer Probleme genutzt werden, z. B. durch Zurückführen kombinatorischer Fragen auf endliche Geometrien. Einfache Kunstanwendung hierzu: Was hat ein Schokoladentest (eine Weinprobe) mit Geometrie zu tun?Die Veränderung der Geometrie kann aber auch an der Geometrie selber verdeutlicht werden. Ein Ansatz dazu in Form der Alternativgeometrien (Schupp u. a.) ist schon lange bekannt. Innerhalb einer Staatsexamensarbeit wurde von I. Wentz ein Programm entwickelt, welches euklidische Strukturen (Geraden, Kreise, Lote ...) auf Restklassenebenen kleiner Ordnung veranschaulicht (GEOFIN). Dadurch können Fragen der Form „Wie könnte man Kreise auf einer 25-Punkte-Ebene so einführen, daß möglichst viele geome trische Aussagen gültig bleiben?“punktuell im Unterricht der Sekundarstufen angesprochen bzw. systematisch in der Geometrie ausbildung an der Hochschule behandelt werden.Über entsprechende Erfahrungen (inkl. Vorstellung des Programms GEOFIN) soll im Vortrag berichtet werden.

Hans-Jürgen Elschenbroich, Neuss Zu Auswirkungen des Computereinsatzes auf die Stellung des Beweisens im Unter richt — Tod oder Wiederauferstehung?

Dynamische Geometrieprogramme unterscheiden sich von den Programmen der ersten Generation durch die drei Fähigkeiten „Beweglichkeit“, „Lern fä- higkeit“ und „Orts linien zeichnen“. Klassische Sätze der Geo metrie erfährt man dabei im Zugmodus als Invarianzen.Oft wird diesen Geometrieprogrammen entgegengehalten, daß sie das Beweisbedürfnis verringern. Die Gefahr besteht sicherlich. Aber dabei wird übersehen, daß viele Beweise mehr der Beruhigung des Gewissens des Lehrers dienen als dem Verständnis des Schülers. Gerade durch einen geschickten Einsatz dynamischer Geometrieprogram me kann man auch klassische Beweise einsichtig und besser nachvollziehbar machen. Dies soll an einem typischen Beispiel gezeigt werden, dem Pro- blem von Fagnano.Es entsteht des weiteren m. E. auch kein unabwend barer Schaden, wenn man bestimmte den Schülern offensichtliche Invarianzen eben als offensichtlich akzeptiert und die gewonnene Zeit nutzt, anderen Fragen auf den Grund zu gehen. Derer gibt es genug, denn aufgrund der Fähigkeiten dynamischer Geometrieprogramme kommt man nun auf höherer Ebene zu Problemen, die bisher dem Geometrieunterricht verschlossen blieben. Dies soll an einem Ortslinienproblem und an der Eulerschen Geraden gezeigt werden.Ganz besonders wichtig ist auch, daß mit den dynamischen Geometrieprogrammen neue Arbeitsformen möglich werden, die die gezeigten Beispiele hoffentlich andeuten können. Ein experimenteller Ansatz wird möglich, das Ausprobieren und Vermuten wird zum fundamentalen Bestandteil des Unterrichtens und erhält als Vorstufe zum Beweisen eine neue, bisher nicht gekannte Qualität.

Gerhard Holland, Gießen Führt der Einsatz von DGS zu einem anderen Verständnis von Geometrie?

Da die didaktische Diskussion zu der Frage, ob Dynamic Geometry Software (DGS) zu einer anderen Geometrie führt, führen kann oder führen sollte, weiterhin kontrovers diskutiert wird, soll ein Beitrag zur Klärung dieser Fragestellung geleistet werden.Insbesondere wird auf folgende Fragestellungen eingegangen:Was heißt andere Geometrie?Wie sind individuelle Eigenheiten bestimmter DGS zu bewerten? Handelt es sich hier um Schwächen des Systems oder um didaktisch begründbare Entscheidungen der Entwickler?Welche Mißverständnisse sind inzwischen geklärt (z. B. zum Zugmodus), welche bedürfen noch der Klärung (z. B. zur Frage verschiedener Kategorien von Punkten)?Welche Aspekte von Geometrie werden durch DGS besonders unterstützt?Welche traditionellen Lernziele werden von DGS besonders gefördert?

Eberhard Lehman, Berlin Abbildungsgeometrie mit Matrizen als Grundlage der Computergrafik (Sekundarstufe I)

Bei der Arbeit am Computer begegnen schon den Sek.-I- Kids diverse Grafiken und Animationen, vielleicht auch Zeichenprogramme mit ihren vielfältigen Funktionen. Der Mathematikunterricht kann zumindest ansatzweise solche Darstellungsmöglichkeiten schon in der Sekundarstufe I begründen! Dazu bedarf es nur ein wenig Abbildungsgeometrie mit einigen (2,2)-Matrizen und eines Programms zum Darstellen von Relationen.Der Vortrag handelt von diesen Aspekten, wobei besonders die dynamischen Aspekte als Vorstufe von Animationen hervorgehoben werden. Gemäß der Zielsetzung des Arbeitskreises werden dabei auch einige Aspekte des Informatikunterrichts angespro- chen.

Herbert Löthe, Ludwigsburg Geometrie mit Computern — Zeichnen, Anschauung, Denkschulung?

Die Verfügbarkeit von Geometriesystemen ist bei weitem größer, und die Vermarktung geht bei weitem schneller als die informatische Bewältigung der Designprobleme oder gar die didaktische Durchdringung der Möglichkeiten, Grenzen und Zielsetzungen von Arbeit damit.Designprobleme untersuchen wir anhand von verschiedenen aufeinander aufbauenden Modell-Imple men tationen im Rahmen von Scheme-L: Igelgeometrien, Vektorgeometrie, euklidische Konstruktionen, Abbildungen etc.Zielsetzungen und didaktische Prinzipien versuchen wir aus einzelnen Veranstaltungen für Lehrerstudenten zu gewinnen, in denen wir einzelne Designentscheidungen auf ihre Bewährung prüfen und diskutieren.Es ist schon heute klar, daß es auch mit den Computersystemen keinen Königsweg zur Geometrie gibt, trotz aller euphorischer Deklamationen. Skizzieren und Zeichnen kann man kaum durch Manipulationen des Grafikschirms mit der Maus ersetzen. Grunderfahrungen zur Anschauung dürften eher an konkrete Handlungen als an Operationen am Computer gekoppelt sein. Der Gebrauch von Geometriesystemen dürfte also seinen Ort eher im Bereich präziser und mehr abstrakter Darstellungen geometrischer Begriffe und Inhalte haben. Diese sind allerdings auch Voraussetzung für experimentelles Arbeiten mit dem Com puter im Bereich der Geometrie. Nur so kann man auch in den Bereich des „Kommandierens“ von Geometrie und der „Konstruktionstexte“ vorstoßen.

Roland Mechling, Offenburg Euklid von innen

Am Beispiel des Programms Euklid soll gezeigt werden, nach welchen Konstruktionsprinzipien ein Geometrieprogramm für die „bewegliche Geometrie“ gebaut sein kann. Bei der Erstellung eines solches Programms ist es vorteilhaft, objektorientiert zu arbeiten, wodurch die Komplexität der gestellten Aufgabe bewältigbar bleibt. Es soll dargestellt werden, wie die konstruktiven Zusammenhänge verschiedener geometrischer Objekte einer Zeichnung in den Softwareobjekten des Programms nachgebildet werden, so daß schließlich der Zugmodus realisiert werden kann.

Jörg Meyer, Hameln Vernetzung durch Variation

Variiert man Satzfiguren (wie etwa die Thalesfigur oder die Pythagorasfigur), so bekommt man motivierende Konstellationen (meistens Bahnkurven), zu deren Interpretation und zu deren Exploration man andere schon bekannte Sätze benötigt. Damit läßt sich das (leider immer kleiner werdende) Arsenal geometrischer Kenntnisse auf neuartige, aber gleichwohl einfache Sachverhalte anwenden. Dies trägt dazu bei, Einzelkenntnisse besser zu verankern und zu vernetzen, ja mitunter sogar, sie überhaupt erstmals sinnvoll zu benutzen. (In der Sprache Schupps: Objekte machen Methoden erst einsichtig; Methoden ohne Objekte sind sinnlos.)Motive zum Argumentieren und zum Beweisen können sich daraus ergeben, daß z. B. Teile von Bahnkurven als „rund“ erscheinen und geklärt werden muß, ob es sich dabei wirklich um einen Kreisteil oder etwa um einen Parabelteil handelt.Die Unverzichtbarkeit der Geometriesoftware liegt auf der Hand: Bahnkurven lassen sich kaum von Hand zeichnen, und auch die Variation von Hilfslinien ist einsichtsfördernd. Insofern hat die Schule erstmals ein Werkzeug zur Verfügung, um die dringend notwendige Exploration nichttrivialer Objekte zu fördern.

Rolf Monnerjahn, Emmelshausen Macht der Computer den Geometrieunterricht sprachlos?

Geometrische Konstruktionen sind Inhalt hauptsächlich des Mathematikunterrichts der Klassen 7 und 8 der allgemeinbildenden Schulen. Abgesehen von den inhaltlich bestimmten Lernzielen ist hier formales Ziel die Fähigkeit, die Konstruktion sprachlich exakt zu beschreiben. Die Anwendung von Sprache ist dabei nicht Selbstzweck, es geht vor allem um die Rückwirkung von Sprache auf das planende Denken. Rheinland-Pfalz hat in einem frühen Ansatz (1985) in einem Modellversuch ein Programm (KOBESCH) entwickeln lassen, dessen didaktische Konzeption darin besteht, nicht die Beschreibung der Konstruktion folgen zu lassen, sondern die Beschreibung zur Grundlage der Konstruktion zu machen. Dieses Programm wurde aufgrund der im Modellversuch gesammelten Erfahrungen weiterentwickelt (Programmtitel: KonZ) und 1996 unter einer Windows-Oberfläche veröffentlicht.Mit den zunehmend verbreiteten graphisch orientierten Geometrieprogrammen, die sich mit Untertiteln wie „experimentelle Geometrie“, „dynamische Geometrie“ schmücken, gewinnt im Unterricht ein probierendes Herangehen an geometrische Fragestellungen an Bedeutung, das in vielen Zusammenhängen sinnvoll sein mag, das aber im traditionellen Kanon relativ wenig Einsatzpunkte findet. Die Handhabung solcher handlungs- und nicht sprach orientierter Programme scheint auch für Schüler ungleich attraktiver zu sein als ein Erarbeiten von Konstruktionstexten oder Beweisen. Damit ergibt sich in der Tendenz eine Verdrängung von Sprache durch Bilder, von Planen durch Probieren.Angesichts dieser Situation des Wandels im Geometrieunterricht müssen u. a. folgende Fragen diskutiert werden:Welche Rolle wird dem Einsatz von Sprache in der Beschreibung geometrischer Sachverhalte und in der Argumentation beigemessen?Welche Bedeutung kommt in Zukunft noch dem geometrischen Konstruieren neben der geometrischen Modellbildung und dem computerunterstützten Skizzieren zu?Welche Kriterien könnten eine Entscheidungshilfe für die Anwendung unterschiedlicher Herangehensweisen (und unterschiedlicher Programme) bieten?

Rolf Neveling, Wuppertal Programmieren mit Sketchpad

Die Animationsoption von Sketchpad gestattet, in der dynamischen Geometrie Konstruktionen durchzuführen, die programmierähnlich sind. Ich möchte deshalb in meinem Vortrag über Programmieren in der Geometrie sprechen und meine Vorstellungen an einigen Beispielen erläutern, die teilweise auch aus der Raumgeometrie stammen. Heinz Schumann, WeingartenNeue Standards für das Lösen geometrischer Berechnungs aufgaben durch ComputernutzungDie Verfügbarkeit über Computerwerkzeuge für das schulgeometrische Konstruieren, Messen und Berechnen und über Computerwerkzeuge für das numerische und symbolische Rechnen induziert neue Methoden des Lösens geometrischer Berechnungsaufgaben: das computergrafische Lösen, das computernumerische Lösen und das computeralgebraische Lösen. Diese Lösungsmodi werden in Abhängigkeit von geeignet gewählten Werkzeugen (Cabri II und Mathematica 3.0) erläutert und in der Art einer Gesamtbehandlung an Beispielen konkretisiert.

Andreas Schwill, Potsdam Algorithmische Geometrie und graphische Datenverarbeitung — eine fruchtbare Verbindung von Mathematik und Informatik

Es gibt eine Reihe von Gebieten, in denen sich mathematische und informatische Denkweisen für beide Seiten fruchtbar miteinander verbinden, aber nur wenige basieren zugleich auf so elementaren Überlegungen, daß sie im Schulunterricht auf verschiedenen Stufen behandelt werden können und damit Forderungen entgegenkommen, informatische Gegenstände fächerübergreifend im Sinne einer informatischen Gesamtbildung zu vermitteln. Wir präsentieren im Vortrag einige Beispiele aus der Algorithmischen Geometrie und der Graphischen Datenverarbeitung, zeigen die jeweiligen mathematischen und informatischen Aspekte und Ideen auf und geben Hinweise auf mögliche curriculare Einordnungen und Abfolgen von entsprechenden Unterrichtseinheiten.

Wilhelm Sternemann, Dülmen Der Größenbereich der Schneeflockenkurven

Der Computer als „dynamisches und interaktives Guckloch“ macht komplexe geometrische Strukturen neu zugänglich, anfaßbar, manipulierbar, die ohne ihn am Rande oder außerhalb unserer Wahrnehmung waren (u. a. mit den Möglichkeiten des Zoomens und der Animationen durch dynamisches Verändern von Parametern). Die nichtlineare Dynamik bzw. die Mathematik zu Chaos und Fraktal befindet sich in der Fachmathematik und vielen Anwendungswissenschaften – ausgelöst oder gefördert durch die heutigen Möglichkeiten des Computers – in einer intensiven Weiterentwicklung. Die mathematikdidaktische Auf ar beitung steckt noch immer in den Anfängen. Die Schneeflockenkurve, ein Paradeobjekt der fraktalen Schulgeometrie, hat die für den Schüler der Sekundarstufen I und II paradox erscheinende Eigenschaft, daß sie unendlich lang ist, obwohl sie eine endliche Fläche einschließt. Die Schneeflockenkurve selbst (also nur die Randkurve!) scheint sich allen Versuchen des normalen Messens zu entziehen. Ihre Länge ist unendlich, und als (nur „dünne“) Linie hat sie keinen Flächeninhalt! Hier wird der Versuch gewagt, die Schneeflockenkurven trotzdem auf anschauliche Weise auszumessen, nämlich mit dem „Schneeflockenmeter“ anstelle von Meter, Quadratmeter oder Kubikmeter. Man erhält ein weiteres Modell der von [Kirsch 1970] definierten Größenbereiche und eine elementare Vertiefung des Begriffs des Messens und eine Elementarisierung bzw. Kon kre tisierung von Hausdorffmaß und Hausdorff dimension (siehe [Peitgen et al. 1992, S. 262 ff]). Es handelt sich um einen Beitrag zu mathematischen und didaktischen Grundlagenfragen, wobei eine unterrichtliche Umsetzung nicht ausgeschlossen ist.

Karel Tschacher, Eichstätt Geometriesoftware in der Hauptschule?

Viele Fragen ergeben sich, wenn man den Einsatz eines PC-Werkzeugs für geometrisches Konstruieren in der Hauptschule ins Auge faßt. Es kann in einem kurzen Vortrag keine verbindlichen Antworten geben. Aber Fragen und Überlegungen zum Einsatz von „elektronischem Zirkel und Lineal“ werden angesprochen. Und dazu die eine oder andere Anregung, die sich zwanglos aus den vielen Fragezeichen als mögliche Anwendung ergibt.Dabei ist in meinem Fall die Wahl auf das Programm „Geometer's Sketchpad“ aus dem Hause Cornelsen gefallen. Gründe und Begründungen für die Wahl gerade dieses Software werde ich vortragen. Meine wichtigsten Fragen werden sein: Welche Lernziele kann man besonders mit dynamischen Systemen umsetzen? Welche Inhalte sind geeignet, diese Lernziele mit dem PC umzusetzen? Welche Kenntnisse müssen die Schülerinnen und Schüler zuvor erwerben? Welche Anforderungen sind an eine Geometriesoftware zu stellen, die vom Hauptschüler bedient oder benutzt werden soll?

Rose Vogel, Ludwigsburg Einsatz verschiedener Geometriesysteme in Studentenübungen zur euklidischen Geometrie — Erfahrungen und Konsequenzen

Die im folgenden beschriebenen Studentenübungen mit dem Computer werden in der derzeitigen Versuchsphase als Ergänzung zu den herkömmlichen Übungen mit Bleistift und Papier angeboten. Sie gehören zu den Grundveranstaltungen Mathematik II (Lehramtsstudiengang für die Grund-, Haupt- und Sonderschule) und Schulgeometrie (Lehr amts stu dien gang für die Realschule) mit den drei Themengebieten: Figuren in der Ebene und im Raum, Inhalte und Inhaltsberechnungen und Abbildungsgeometrie.Es haben sich für die Computerübungen als Ergänzung zu der Vorlesung drei Arbeitsschwerpunkte herausentwickelt:Konstruktion von Dreiecken und ViereckenGrundkonstruktionen und KongruenzabbildungenOrtslinienFür die einzelnen Schwerpunktgebiete wird jeweils ein anderes System verwendet: Konstruktion von Dreiecken und Vierecken in Scheme-LHier geht es um eine Sensiblisierung für die einzelnen Schritte während der Konstruktion von Dreiecken und Vierecken und darum, welche spezifischen Kennt nisse unausgesprochen vorausgesetzt werden (und über welche die Schüler und Schülerinnen dann auch häufig stolpern).Die in Scheme-L geschriebenen Konstruktionsprogramme fordern eine hohe Präzisierung, und damit besteht die Chance einer Bewußtmachung von bestimmten Konstruktionsschritten, die bei der Arbeit mit Bleistift, Geodreieck und Zirkel so „schnell mal gemacht werden.“ Auf diese Weise besteht die Chance, angehende Lehrer und Lehrerinnen zu einem reflektierten Gebrauch der Werkzeuge zu bringen.Grundkonstruktionen und Kongruenzabbildungen mit GEOLOG Geolog bietet sich für diese Themenstellung m. E. gut an, da bestimmte geometrische Grundprozeduren wie z. B. Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten, Spiegelung eines Punktes an einer Gerade usw. nicht eingebaut sind und zunächst vom Benutzer/von der Benutzerin erstellt werden müssen. Ortslinien mit EuklidDieses Windows-Programm hat eine eingebaute Ortslinien-Funktion, die ganz gute Ergebnisse liefert. Der zeitliche Schwerpunkt liegt bei dem ersten Themengebiet. Die Erfahrungen zeigen, daß hier auch große Defizite bei den Studierenden vorliegen, da sie sich seit ihrer Mittelstufenzeit im Gymnasium nicht mehr mit dieser Fragestellung beschäftigen mußten.

Hubert Weller, Wetzlar Analytische Geometrie des Raumes mit DERIVE — reguläre und halb reguläre Körper als roter Faden

In einem Kurs „Lineare Algebra“ geht es u. a. auch um die Darstellung, Beschreibung und Untersuchung von räumlichen Objekten. Dabei geht es „um eine psychologische Auffrischung und Ausformung grundlegender Raumvorstellungen, wie sie jeder normale Mensch von Kindheit an über seine Handlungen an räumlichen Gebilden aufbaut und im Laufe seiner geistigen Entwicklung immer klarer prägt, ausdifferenziert und mit-einander verzahnt.“ (Wittmann, S. 50) Ein Computeralgebrasystem wie DERIVE bietet durch eine starke Verbindung der numerischen, symbolischen und grafischen Werkzeugebenen und der Möglichkeit der Erzeugung von großen Datenmengen innerhalb kürzester Zeit die Chance zur Förderung von wünschenwerten Haltungen im Sinne gezielten Experimentierens, forschenden Unterrichts und entdeckenden Ler nens. Insbesondere die notwendige Ver bindung von symbolischer und grafischer Ebene erfordert die stärkere Einbindung von Inhalten (wie etwa affine Abbildun- gen), die bisher eher zum Bereich „Er wei terungen“ zu zählen waren. Dies bedeutet aber auch eine Bereicherung des Unterrichts und eine Konzentration auf die grund-legenden Konzepte. Im Vortrag wird ein Weg vorgeschlagen, der mit der Herstellung konkreter räumlicher Objekte beginnt und über ihre Beschreibung und Darstellung zu einer Untersuchung der Operationen (Abbildun gen) führt.StrohhalmmodelleAffine Abbildungen2D- AbbildungenDarstellung durch MatrizenAls die Bilder laufen lernten3D- AbbildungenProjektionen räumlicher Objekte in die EbeneDie KavalierprojektionAndere ProjektionsartenDie fünf platonischen KörperVerdeckte KantenDie Determinante als orientierter FlächeninhaltEine andere Art der Beschreibung von KörpernDarstellung von Körpern ohne verdeckte KantenAcrospin-Dateien

Thomas Weth, Würzburg Kreatives Lernen im Geometrieunterricht

In den Präambeln vieler Lehrpläne wird „Kreatives Arbeiten“ als fester Bestandteil des Mathematikunterrichts gefordert, im Unterrichtsalltag allerdings eher vernachlässigt. Der Grund für diese Situation mag vielleicht in der auch unter Mathematiklehrern weitverbreiteten Einstellung liegen, in der (Elemen tar-)Mathematik könne man nichts sinnvolles Neues entdecken oder erfin den. Im Vortrag soll deshalb darauf eingegangen werden, wie Schüler im Geometrieunterricht mit dem Computer als Werkzeug auf verschiedenen Anspruchsniveaus eigene Begriffe bilden und erforschen können. Speziell soll auf verschiedene Begriffsbildungs- und Forschungsroutinen eingegangen werden. Im Extremfall lautet eine „Kreativitäts routine“ schlicht: „Erfinde etwas geometrisch Neues“. Trotz dieser „schockierenden“ Arbeitsanweisung ergaben sich in mehreren Unterrichtsversuchen zum Computereinsatz im Mathematikunterricht bemerkenswerte und mitteilenswerte Ergebnisse.

Bernard Winkelmann, Klagenfurt Mathematikunterricht und Internet

Es handelt sich um einen Überblick über die entsprechende Arbeit der Arbeitsgruppe Fachdidaktik am Institut für Mathematik, Statistik und Didaktik der Mathematik der Universität Klagenfurt.Waren bis vor zwei Jahren vor allem Universitäten und ähnliche Einrichtungen im Internet präsent, so ist das Netz inzwischen auch für Firmen, Privatpersonen und Schulen interessant geworden; immer mehr Schulen erhalten Internet-Anschlüsse und beteiligen sich passiv und teilweise auch aktiv daran.Daß ein solcher Anschluß für Fächer wie Geographie, Fremdsprachen, Sozialkunde nutzbar ist, scheint fast unmittelbar klar zu sein. Für Mathematik und einige andere Fächer ist das weniger offensichtlich.Wir werden im folgenden Beitrag versuchen, einige spezifische Bezüge zwischen Mathematikunterricht und Internet zu benennen und zu beschreiben. Dabei geht es sowohl um die allgemein- pädagogisch bedeutsamen neuen Kommunikations- und Vertriebswege (elektronische Post und Austausch von Texten, Daten, Programmen aller Art) als auch um die mit dem vernetzten Computer gegebenen bzw. verstärkten neuen Darstellungsmöglichkeiten wie Hypertext, Multimedia, Programme, Modelle und interaktive Texte.


Arbeitsgruppen

Verändert der Computer die Inhalte des Geometrieunterrichts?

Leitung und Einleitungsvortrag (in Ergänzung zum o. g. Sektionsvortrag!):Gerhard Holland, Gießen

Computergrafik als Bindeglied zwischen Mathematik- und Informatikunterricht

Leitung: Andreas Schwill, Potsdam

Einleitungsvortrag: Rüdeger Baumann, Celle Probleme der Computergrafik als Motivation und Anwendung im Geometrieunterricht (der Sekundarstufe II)

Der Unterricht in Analytischer Geometrie (Vektorgeometrie) erfolgt heute meist ohne Bezug zu irgendwelchen Anwendungen, es handelt sich um ein realitätsfernes Operieren mit abstrakten Begrif fen, die Anschaulichkeit ist dürftig. Über simpelste Aufgaben (z. B. Abstandsberechnungen, Schnittgebilde von Geraden und Ebenen) gelangt man in der Regel nicht hinaus, der Nutzen der erarbeiteten Formeln zum Lösen lebensweltlicher Probleme bleibt den Schülern in der Regel verborgen.Hier können Aufgaben der Computergrafik (z. B. Darstellung und Abbildung von Kšrpern im Raum) Abhilfe schaffen, indem die Schüler mathematische Begriffe, Sätze und Algorithmen als mächtiges gedankliches Werkzeug zur Lösung praktischer Pro bleme erfahren.Zugleich ergibt sich eine KlŠrung des VerhŠltnisses von Mathematik- und Informatik unterricht: Die Ma the matik liefert Ð in Gestalt mathematischen Wis sens (hier: der Vektor geometrie) die Grundlagen, die Informatik setzt dieses Wissen Ð in Ge stalt lauf- fŠhiger Informatiksysteme (hier: eines inter ak tiven Grafiksystems) Ð in die Praxis um.In der Arbeitsgruppe sollen unter anderem folgende Fragen eršrtert werden:Welche Aufgaben der Computergrafik sind als Motivation bzw. Anwendung fŸr den Unter richt in Analytischer Geometrie (Vektorgeometrie) geeig net?Wie mu§ deren Behandlung im Mathe ma tik un ter richt aussehen Ð im Hinblick darauf, da§ die ser kein Informatikunterricht ist bzw. sein soll?Welche Werkzeuge sind geeignet (z. B. Pro gram miersprache, Computeralgebra- system)?

Computereinsatz in Schule und Lehrerausbildung: Erfah rungen und Perspektiven

Leitung und Einleitungsvortrag: Hans-Georg Weigand, GießenGeometrie, Computer und Lehrerausbildung — ein Erfahrungsbericht

Seit einigen Jahren führe ich Veranstaltungen zum „Computereinsatz im Mathematikunterricht“ im Rahmen der Lehrerausbildung durch und versuche, den Problemkreis „Neue Technologien“ in didaktische Lehrveranstaltungen und Seminare zu integrieren. Die dabei angestrebten Ziele sind vielfältig: Die Studierenden sollen die didaktischen und methodischen Auswirkungen Neuer Technologien auf den zukünftigen Unterricht beurteilen lernen,sie sollen mit einem neuen Werkzeug vertraut werden, das es im Rahmen traditioneller Problem- und Aufgabenstellungen einzusetzen gilt, das aber auch neue Inhalte erschließen kann,sie sollen selbst am Computer arbeiten und möglichst auch Unterrichtsversuche zum computerunterstützten Unterricht durchführen,sie sollen einen Überblick über verschiedene aktuelle Programmen erhalten. Die Praxis zeigt, daß es schwer ist, allen diesen Anforderungen gerecht zu werden. In dem Vortrag sollen Probleme im Zusammenhang mit den fachwissenschaftlichen Grundlagen der Studierenden, beim Entwickeln didaktischen Wissens und beim Lösen von Übungs- und Klausuraufgaben erläutert und diskutiert werden. Es sollen Perspektiven für die zukünftige Gestaltung derartiger Veranstaltungen aufgezeigt werden.

Vergleich von Geometrieprogrammen — grundsätzliche Anforderungen

Leitung und Einleitungsvortrag: Wolfgang Friebe, Mainz

Sitzung des Arbeitskreises „Elektronische Verbreitung von Mathematikdidaktik

Leitung und 1.Einleitungsvortrag: Thomas Weth, Würzburg

Mögliche Ziele und Aufgaben des Arbeitskreises „Elektronische Verbreitung von Mathematikdidaktik“. Ausgangspunkt des Eingangsreferats ist die Frage, welche Defizite im momentanen Informationsangebot überhaupt die Gründung bzw. die Existenz eines derartigen Arbeits kreises rechtfertigen. Anhand der momentan existierenden elektronischen Möglichkeiten (email, ftp, Newsgroups und WWW) sollen Vorschläge zur „elektronischen Verbreitung von Mathematikdidaktik“ entwickelt und zur Diskussion gestellt werden.

2. Einleitungsvortrag: Fritz Nestle, Ulm Mathematische Wettbewerbe im WWW


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